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微分和积分的概念 积分和微分的区别

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微分和积分的概念 积分和微分的区别

积分与微分的区别是什么?

积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种

1.0不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知:

求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.

2.0定积分

众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。

实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。

而相对于不定积分,就是定积分。

所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。

定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分。用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。

我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?

定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:

若F'(x)=f(x)

那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

3.0微积分

积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中:[F(x) + C]' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如:已知定义在区间I上的函数f(x),求一条曲线y=F(x),x∈I,使得它在每一点的切线斜率为F′(x)= f(x)。函数f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数(见原函数),记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数,则 ,其中C为任意常数。例如, 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f(x)为定义在[a,b〕上的函数,为求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分:a=x0<x1<…<xn=b,取ζi∈[xi-1,xi〕,记Δxi=xi-xi-1,,则pn为S的近似值,当n→+∞时,pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来,便得定积分的概念:对于定义在[a,b〕上的函数y=f(x),作分划a=x0<x1<…<xn=b,若存在一个与分划及ζi∈[xi-1,xi〕的取法都无关的常数I,使得,其中则称I为f(x)在[a,b〕上的定积分,表为即 称[a,b〕为积分区间,f(x)为被积函数,a,b分别称为积分的上限和下限。当f(x)的原函数存在时,定积分的计算可转化为求f(x)的不定积分:这是c牛顿莱布尼兹公式

微分

一元微分

定义:

设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。函数可导必可微,反之亦然,这时A=f′(X)。再记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

几何意义:

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元微分

同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义。

运算法则:

dy=f'(x)dx

d(u+v)=du+dv

d(u-v)=du-dv

d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

微分与积分的区别?

微分:设函数y=f(x)的自变量有一改变量△x,则函数的对应改变量△y的近似值f~(x)*△x叫做函数y的微分。 (“~”表示导数)

记为 dy=f~(x)△x

可见,微分的概念是在导数概念的基础上得到的。

自变量的微分的等于自变量的改变量,则

将△x用dx代之,则微分写为dy=f~(x)dx

变形为: dy/dx=f~(x)

故导数又叫微商。

积分:它是微分学的逆问题。函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的或f(x)dx的不定积分。记作 ∫f(x)dx.

若F(x)是f(x)的原函数,则有

∫f(x)dx=F(x)+C C为任意常数,称为不定积分常数。

对于定积分,它的概念来源不同于不定积分。定积分檎是从极限方面来。是从以“不变”代“变”,以“直”代“曲”求某个变化过程中无限多个微小量的和,最后取极限得到的。所以不定积分与定积分不是仅差一个常数的问题,即使是在计算上仅差一常数,而且运算法则也基本相同。它们之间建立关系是通过“牛顿-莱布尼兹公式”。公式是

非曲直 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 积分下限a,上限b

什么是微分,什么是积分?

您好!

你多大了,上高三了吗,导数学过吗?

比如函数y=x^2(^2表示平方),对它求导得y'=2x,那么它的微分就是dy=2xdx,导数后面加个dx就行啦!

不定积分就是求导的逆运算,比如对函数y=2x求不定积分得x^2+C,C为任意常数;

定积分就是有个上下限,比如上面那个式子规定上限为5下限为1,则可求出确定的值(5^2+C)-(1^2+C)=24;

明白了吗?

我以上讲得实在是太通俗了,要看比较标准的说法请点击以下链接:

微分:http://baike.baidu.com/view/15986.html

积分:http://baike.baidu.com/view/61339.htm

【补充】

因为求不定积分其实就是已知导函数求原函数的过程。

微分与积分是什么,有区别么?

微分和积分是相反的一对运算。微分是求变化率,积分是求变化总量。比如,求加速度,就是用微分,即对速度进行求导,如果是求路程,就是对速度在某个时间段内 进行积分。

积分和微分的具体关系是什么?

积分和微分通常意义下是互为逆运算的关系,但是一个函数f(x)微分(求导)后再做不定积分,得到的不是原来的函数f(x),而是f(x)+任意常数c。另外对于不连续函数无法微分,但可以积分(勒贝格积分)

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